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北京东直门中学高三数学提高测试试题及答案 (理)

时间: 04-07     手机版

2010-2011年北京东直门中学高三数学提高测试五 (理)
一、选择题
1. 已知函数 在R上满足 ,则曲线 在点 处的切线方程是( )资.源.网
A. B. C. D. 高.考.资.源.
2. 点O在 所在平面内,给出下列关系式:
(1) ; (2) ;
(3) ;
(4) .
则点 依次为 的 ( )
A.内心、外心、重心、垂心   B.重心、外心、内心、垂心
C.重心、垂心、内心、外心 D.外心、内心、垂心、重心
3. 设点 是三角形 内一点(不包括边界),且 , ,则 的取值范围为( )
A B C D
4. 已知函数 时,则下列结论不正确的是
A. ,等式 恒成立
B. ,使得方程 有两个不等实数根
C. ,若 ,则一定有
D. ,使得函数 在 上有三个零点
5.点 在由不等式组 确定的平面区域内,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
6. 数列 满足 ,若 = ,则 .
7. 双曲线 的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点 在“上”区域内,则双曲线离心率 的取值范围是 .
8. 如果关于 的不等式 和 的解集分别为 和 ,那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式 与不等式 为对偶不等式,且 ,那么 .
9.用 三个字母组成一个长度为 个字母的字符串,要求由 开始,相邻两个字母不同. 例如 时,排出的字符串可能是 或 ; 时排出的字符串可能是 , (如图).若记这种 个字符串中,排在最后一个的字母仍是 的所有字符串的种数为 , 可知, ;则 __ ;数列 的前 项之和 .
三、解答题
10.已知抛物线方程为 ,过 作直线 .
①若 与 轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在 轴上一定点 ,使得 ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?
②若 与 轴垂直,抛物线的任一切线与 轴和 分别交于M、N两点,则自点M到以QN为直径的圆的切线长 为定值,试证之;

11. 已知函数 .
①当 时,求 的最小值;
②若函数 在区间 上为单调函数,求实数 的取值范围;
③当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.

12.已知数列 满足 ,首项为 ;
(1)求数列 的通项公式;
(2)记 数列 的前 项和为 ,求证: ;

2010-2011年北京东直门中学高三数学提高测试五 (理)答案
一、选择题
1、A 2、 C 3、B 4、D 5、D
二、填空题
6、 ; 7、 8、 9、 10、6
三、解答题
10. 解:①设 的方程为: ,设 ,
由 消去 得: , , …2分
若 ,则
即:


故存在 ,使得
②设 在抛物线上,由抛物线的对称性,不妨设 ,则过P点的切线斜率
,切线方程为: ,且 …9分
令 ,∴
令 ,∴
则以QN为直径的圆的圆心坐标为 ,半径



.解:①
当 时, ,当 时,
∴ 在 上单调减,在 上单调增∴

若 在 上单调增,则 在 上恒成立
恒成立令 , ,则 ,

若 在 上单调减,则 在 上恒成立

综上, 的取值范围是: ……9分
③ 恒成立


当 时,不等式显然成立
当 时,
在 时恒成立 令 ,即求 的最小值
设 , , ,
且A、B两点在 的图象上,又∵ , ,故
∴ ,故 即实数 的取值范围为
12.⑴由已知可得 ,即
由累加法可得: ,即
又 也成立,所以
(2)
先证
由 ,此式显然成立
………(6分)

 

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